Александр Воробьёв родился в Гомеле. В 1979 году поступил в ГИТИС (курс И. Туманова), который окончил в 1983 году. После окончания института был призван на службу в армию. Демобилизовавшись, долгое время оставался без работы. В 1986 году был приглашён в Московский областной театр драмы, где проработал полтора сезона. Затем вновь наступил период безработицы: подрабатывал дворником, фотографом, грузчиком, строителем. В 1988 году участвовал в показах для актёров в театре Олега Табакова, которые успешно прошёл; с 1 января 1989 года является актёром Театра-студии под руководством Олега Табакова. Много снимается в кино, работает на телевидении.